Calculs pratiques au CE2. Situations concrètes et observations de l’environnement

Calculs pratiques au CE2 est le troisième fichier d’une série qui a pour objectif d’entraîner les élèves du cycle 2 à la résolution de problèmes avec une méthode suscitant l’intérêt des élèves et bien structurée sur le fond pour favoriser les apprentissages.

Présentation générale de l'ouvrage

La répétition des exercices de mathématiques est primordiale pour les apprentissages : calculs et résolutions de problèmes tout particulièrement. Au vu de la fréquence engendrée par les orientations pédagogiques, le fait de pouvoir travailler avec plaisir, ou du moins sur des documents relativement ludiques et plaisants, apporte un souffle d’air nécessaire. Cet ouvrage propose donc des problèmes que chaque élève peut rencontrer dans sa vie quotidienne. Les exercices sont mis en scène pour que l’enfant se sente plus directement concerné. Nous espérons aussi qu’il trouvera autour de lui, grâce à ces situations concrètes, des sujets de calcul volontaire.

Afin de traiter le programme avec systématique, mais sans trop d’ennui, nous avons également recherché des informations qui aient du sens et correspondent aux centres d’intérêt des enfants : la nature, les animaux, le corps humain, la vie pratique, les sports, les courses et les magasins, les transports, les vacances, les métiers, l’économie sociale, le développement durable… Les chiffres donnés sont justes (seulement ramenés à l’entier inférieur ou supérieur) : ils pourront être la base d’intéressantes discussions en classe.

Francine Moyne (FM), enseignante-autrice :

« Les situations abordées sont proches du vécu des enfants ou de leurs centres d’intérêt. Elles sont rendues plus concrètes encore par des illustrations explicites rigoureusement choisies. Cela leur permet de bien s’approprier la situation afin de faciliter le raisonnement. »

La forme et le contenu précis

Le fichier Calculs pratiques au CE2 comporte 81 exercices. La plupart du temps, la fiche comporte deux exercices, afin qu’après un premier entraînement, l’enfant puisse se retrouver devant un second à appliquer un peu sur le modèle précédent. Cette démarche est efficace et rassurante pour l’élève. Pour des problèmes plus complexes, l’exercice s’étale sur une ou plusieurs pages, avec plusieurs étapes. Il est donc possible de travailler deux ou trois fiches par semaine. Chaque fiche est illustrée. Les illustrations ont été recherchées et travaillées pour offrir à l’enfant un cadre très visuel du problème. En face de la page d’exercice, une page « d’aides » est proposée, que l’enseignant pourra donner en tout ou partie à certains élèves. Elle est toujours composée de la même manière, avec trois types d’aides. La première aide intitulée « Je dois trouver : » est un court questionnaire avec des cases à cocher pour l’aider à identifier ce qu’il cherche. Elle propose, pour chaque problème, trois formulations de types de phrase réponse possible.

F.M. : « L’ensemble des petits textes ainsi constitués représente une base de vocabulaire très utile pour tous les élèves. Il peut être intéressant d’en discuter en classe entière pour identifier les « mots » qui permettent de bien répondre au problème posé. Ce lexique de « phrases réponses » pourrait être mis à disposition des élèves quand ils cherchent à rédiger correctement leur réponse à l’écrit. »

La seconde aide présente plusieurs nombres correspondant à la « solution » du problème (cases à cocher également) entre lesquels l’enfant en difficulté peut choisir, et donc, ainsi, émettre un raisonnement adapté.

F.M. : « L’élève peut tout simplement se poser des questions d’ordre de grandeur au regard des nombres proposés, ce qui peut l’aider à aiguiller ses questionnements. Pour l’enfant au raisonnement logique très rapide (pensée intuitive), pouvoir cocher le bon résultat rapidement va aussi le libérer et lui permettre de réinvestir sa concentration sur l’écriture de l’opération et de la phrase réponse. »

La troisième aide est visuelle. L’illustration proposée permet de montrer les quantités mises en jeu, les déplacements, les regroupements possibles pour visualiser le problème. Progressivement, pour les nombres les plus grands, des tableaux sont proposés pour chercher le résultat par étapes et par approximation. Ces tableaux se basent sur des calculs de type x2, x5, x10, x100… avec une visualisation des opérateurs à utiliser pour passer d’une ligne à l’autre. Ces calculs simples, constituant des étapes efficaces du raisonnement, sont utilisés constamment dans la vie quotidienne.

Deux cartes mentales sont proposées. Elles peuvent être plastifiées et affichées, remises à certains élèves ou à toute la classe. La première carte mentale (page 10) synthétise ce que l’on peut rechercher dans un problème et permet d’en faciliter la compréhension. Si un élève ne sait pas, a priori, ce qu’il cherche, il peut grâce à cette carte procéder par élimination (pas un prix, pas une mesure, pas un poids…).

La seconde carte mentale (page 11) oriente les élèves dans la stratégie à mettre en place pour résoudre chaque problème. Elle présente plusieurs types de raisonnement avec des pictogrammes explicites et quelques explications. Ces pictogrammes sont repris sur les pages d’exercices et dans le sommaire. La version CE2 de ces deux cartes mentales est plus complète que celle du CE1 afin de mieux couvrir les réflexions liées aux problèmes de ce niveau.

La progression

Les problèmes ont été organisés dans l’ouvrage selon une démarche très progressive liée à l’apprentissage des mathématiques au CE2, en cohérence avec les repères annuels de progression pour cette classe. Le sommaire intègre des indications à ce sujet. Conformément aux programmes, les exercices utilisent les nombres jusqu’à 10 000. Les quatre types d’opérations figurent dans ce fichier de CE2. Du fait de la complexité des problèmes et des grands nombres en jeu, une part plus importante est donnée aux situations de multiplication et de division.

Démarche pédagogique détaillée

Les choix de l’auteur

L’enseignante-autrice, Francine Moyne a progressivement intégré ces différents éléments à sa méthode de travail au regard de son expérience en classe et des progrès qu’elle pouvait observer chez ses élèves, ou encore des solutions qui se sont avérées vraiment « aidantes » pour des élèves en difficulté.

F.M. : « Lire l’énoncé du problème et décrypter l’image est une étape fondamentale qui précède une phase orale de reformulation du problème avec ses propres mots. Je conseille donc aux enseignants d’aider leurs élèves par une discussion orientée sur les questions suivantes :

De quoi parle cette situation ? Est-ce que cette situation te rappelle quelque chose de ta vie de tous les jours ? Qu’est-ce que tu sais déjà ? Qu’est-ce que tu dois chercher ? Comment peux-tu faire pour trouver la réponse ?

L’enseignant peut ainsi s’appuyer sur le vécu de ses élèves et avoir recours, si besoin, au mime de la situation. Dans un deuxième temps, l’élève prend le temps dont il a besoin pour réfléchir seul ou en groupe. Dans la plupart des cas, une zone pour dessiner lui est proposée. Ce brouillon doit rester non évalué et permettra aussi à l’enseignant de comprendre le raisonnement de ses élèves. À ce moment-là, on peut proposer, si nécessaire, la fiche d’aide. Celle-ci est structurée de la même manière pour chaque situation. L’identification de ce que l’on cherche et la réponse sont proposées dans des choix multiples à cocher. La schématisation du problème aide à accéder à l’abstraction nécessaire
au raisonnement et à la réflexion. Cette aide pourra être proposée aux élèves qui en ont besoin et permet à l’enseignant de personnaliser son enseignement. Elle pourra être proposée sous forme de document plastifié préparé à l’avance et laissé en libre accès aux élèves ou à un petit groupe. La frise numérique (parfois présente dans les fiches d’aide) permet de représenter les nombres et dédouane les élèves de la connaissance de la comptine numérique alors même qu’ils doivent raisonner avec.

Arrive ensuite la phase de formalisation de la réponse :

• écrire la ligne de calcul qui a permis de trouver la réponse,
• écrire la phrase réponse. »

L’utilisation de ce fichier est, bien évidemment, très libre. Selon la méthode retenue par l’enseignant, celui-ci pourra piocher dans les fiches à sa guise, utiliser les aides pour certains élèves et/ou pour la phase de discussion en classe, etc. Si, à un moment donné des apprentissages, l’enseignant souhaite initier les élèves à rechercher la solution de problèmes par approximation, il peut, par exemple, donner uniquement les tableaux de recherche de la solution par étape de calcul.

Les références pédagogiques

Nous avons également cherché à tenir compte des avancées des recherches en didactique et en psychologie cognitive, par exemple en évitant de proposer des « tâches » préparatoires (surligner ou barrer des mots…) censées aider à la résolution de problèmes. Elles sont, en effet, questionnées par les chercheurs, car elles nécessitent déjà, juste pour les réaliser, la résolution du problème… Pour être au mieux utile à différentes démarches pédagogiques, nous avons par contre retenu les principes suivants : rédaction de la situation problème sans information superflue et avec une syntaxe simple (one step problem). Tous les enfants ne sont pas à l’aise, tout au long du primaire, avec la compréhension de phrases ou de vocabulaires complexes, ou avec la compréhension de l’implicite. Nous avons donc privilégié le travail sur la construction individuelle de connaissances du nombre, de situations de calcul et d’automatisme dans le cadre de ces problèmes (le travail sur la richesse du vocabulaire pouvant se faire plus efficacement pour tous les élèves par ailleurs). Les pictogrammes proposés pour représenter les types de raisonnement peuvent être expliqués aux élèves à l’aide de la carte mentale page 11. L’enseignant sera à même d’évaluer si ses élèves peuvent prendre le recul suffisant pour analyser ainsi leur raisonnement. Nous avons aussi utilisé une sémantique régulière dans la formulation des questions et des aides sur « ce que l’on cherche », car elle aide à l’acquisition d’une sémantique associée aux opérations. Cette stratégie est très utile pour certains élèves (même si elle n’est souvent pas suffisante pour la résolution de problèmes).

Ce fichier rassemble des « problèmes basiques » correspondant au cycle 2, qui aident à bien tester et structurer des constructions mentales pour les mémoriser, et ainsi pouvoir acquérir des stratégies personnelles de résolution.

Dans les cas où les problèmes sont un peu plus complexes, plusieurs questions sont posées pour aider l’élève à découvrir les étapes basiques nécessaires pour résoudre un « problème complexe ».

Enfin, le fichier comprend quelques « problèmes atypiques pour aiguiser l’inventivité stratégique des élèves et entretenir la flexibilité du raisonnement. Dans ce cas, les représentations visuelles ont été particulièrement travaillées pour éviter les blocages et permettre à tous les élèves de se tester et de prendre confiance. Les problèmes les plus difficiles, soit en terme de raisonnement, soit en terme de vocabulaire utilisé en lien avec une situation particulière, sont marqués d’une étoile. Globalement, l’objectif pédagogique poursuivi dans cet ouvrage est le même que celui de la méthode Singapour, c’est-à-dire aider chaque élève à se rendre compte de ce que représente le nombre. Le nombre, qui est une notion abstraite, n’acquiert un sens pour la plupart des enfants que s’il est démontré par des objets et des manipulations et, notamment pour les nombres plus grands, s’il est utilisé dans une situation concrète. C’est par l’exemple, la lecture, la confrontation au dénombrement ou à l’approximation pour les problèmes plus complexes que l’enfant assimile, selon sa propre progression, des ordres de grandeur pour les différents objets ou sujets mesurables qu’il croise.

La réalisation de ces fiches (fichier CE2 et ceux complémentaires du CP et du CE1) contribue à lui donner des références qui lui seront utiles, non seulement pour vérifier son raisonnement lors d’un calcul, mais aussi pour toute sa vie : des distances géographiques (îles françaises, longueur de véhicules et de monuments par exemple), des volumes d’eau ou d’essence consommés, la durée de vie de différentes espèces, des références de prix et de conditionnement de produits…

F.M. : « Sous prétexte de faire des maths, j’ambitionne surtout de transmettre une culture très riche à chaque élève. »

Préface rédigée à deux mains,

Francine Moyne et Sylvie Coffre

Aide pour la résolution de problèmes                                                           10

Les types de raisonnement                                                                              11

Je compare de 1 à 1 000                     Les îles françaises                               12
Je compare de 1 à 1 000                     Les îles bretonnes                               13
Je compare de 1 à 10 000                   Ancienneté et durée de vie                 14

Je compare de 1 à 1 000                     L’âge des grands animaux                   16
Je compare de 1 à 1 000                     L’âge des petits animaux                     17

Je résous les problèmes complexes   Les animaux en voie de disparition    18

Je résous les problèmes, multiplication/division     Couper, jouer, calculer         20

Je résous les problèmes complexes   Histoire d’œufs                                   22

Je résous les problèmes, de 1 à 1 000            Les bonnes pièces pour payer    24

Je résous les problèmes, de 1 à 1 000            Se déplacer sans voiture         25

Je résous les problèmes, de 1 à 1 000            Taille de mémoire                   26

Je résous les problèmes, de 1 à 10 000          Consommation d’eau             28

Je résous les problèmes, de 1 à 1 000            Économie d’eau                       30

Je résous les problèmes, de 1 à 10 000          Grands nombres du monde          32

Je compare, de 1 à 10 000                              L’âge des espèces                    33

Je résous les problèmes, de plus, de moins   Différences d’âge                    34

Je résous les problèmes, de plus, de moins   Compter les animaux              36

Je résous les problèmes, de plus, de moins   À la plage                                38

Je résous les problèmes, de plus, de moins   Exploit sportif                          40

Je résous les problèmes, multiplication/division       Cases d’un plateau de jeu 42

Je résous les problèmes, de 1 à 10 000                     Beaucoup de solidarité          44

Je résous les problèmes, multiplication         Cuisiner pour un grand groupe        46

Je résous les problèmes, multiplication         Cuisiner pour un grand groupe        47

Je résous les problèmes, multiplication/division      Faire des équipes                   48

Je résous les problèmes, multiplication/division      Répartition équitable            50

Je résous les problèmes, multiplication/division      Répartir les animaux             52

Je résous les problèmes complexes, de 1 à 1 000      Transporter sur une remorque 54-58

Je résous les problèmes, multiplication/division       Courir un relais                      60 

Je résous les problèmes, de 1 à 10 000                      Les athlètes olympiques       62 

Je résous les problèmes de 1 à 10 000                       Les athlètes paralympiques  64  Je résous les problèmes, multiplication à 2 chiffres          Nombre de pages       66    Je résous les problèmes, multiplication/division       De l’argent tous les mois    68 

Je résous les problèmes, multiplication à plusieurs chiffres     Économie et solidarité         70

Je résous les problèmes, de 1 à 10 000     Grands animaux et grosses quantités 72-74

Je résous les problèmes complexes               Tout ce temps passé                     76-80 

Je résous les problèmes complexes               Ah les pauvres maîtres !         82-84  

Je résous les problèmes complexes               À l’entraînement                     86-88

Je résous les problèmes, multiplication / division     La taille des plantes  88         

Je résous les problèmes, multiplication / division     Quel poids       92-94  

Je résous les problèmes complexes               Que de pages              96       

Je résous les problèmes jusqu’à 10 000         Compter en stades de foot     98       

Je résous les problèmes, de 1 à 1 000            Transporter des voitures        99       

Je résous les problèmes, plus de 10 000        Compter en tours de stade     100     

Je résous les problèmes, jours, heures, mn               Mesurer le temps    102         

Je résous les problèmes, multiplication / division     Économies d’énergie  104     

Je résous les problèmes, jusqu’à 10 000        Le tri sélectif                106  

Challenge de haut niveau                               Problèmes d’archéologues     108-110